有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，…
有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60 人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目？
A. 7
B. 10
C. 15
D. 20
答案与解析
正确答案：B
花生十三讲解
参加跳远50人、跳高40人、赛跑30人，共120人次；100人每人至少1项，超出的20人次是重复参加。要让'参加不止一项'的人最少，就让重复集中：每个参加三项的人多占2人次，20÷2=10人。确认答案为B
原解析
解析 解法一： 第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。 第二步，总人数＝参加不止一个项目的人数＋只参加一个项目的人数，要使参加不止一个项目的人数至少，则只 参加一个项目的人数最多。 第三步，参加跳远的有100－50＝50（人）；参加跳高的有100－60＝40（人）；参加赛跑的有100－70＝30（人）。 总共有50＋40＋30＝120（人次）参赛，因为每人至少参加一项，即100人每人参加一次，故还有120－100＝20 （人次）重复参赛。 第四步，为使参加不止一项（即两项和三项）人数最少，则剩下20人次均参加三项，20÷（3－1）＝10，故至 少有10人参加了不止一个项目。 因此，选择B选项。 解法二： 第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。 第二步，参加跳远的有100－50＝50（人）；参加跳高的有100－60＝40（人）；参加赛跑的有100－70＝30（人）。 设只参加两项的人数为x，参加三项的人数为y，根据三集合非标准公式可得50＋40＋30－x－2y＝100，化简后 为x＋2y＝20。 第三步，题干所求至少有多少人参加了不止一个项目即x＋y最小，x＋2y＝20＝（x＋y）＋y，x＋y最小即y最 大，y最大为10，此时x＋y＝20－10＝10。 因此，选择B选项。